Bienvenidos al semestre 4, es un gusto estar con Uds. de seguro será una experiencia maravillosa.

RELACIÓN Y FUNCIÓN

Las magnitudes que caracterizan un fenómeno dado pueden quedar completamente determinadas por los valores de otras. Estas interdependencias fueron las que dieron origen al concepto de función porque gran parte de los fenómenos que se observan en la naturaleza se pueden relacionar unos con otros a través de correspondencias.

Investiga de manera individual en las fuentes de información a tu alcance, los siguientes conceptos y escríbelos en tu libreta.

Relación

 Función

Dominio

Rango

Regla de correspondencia

Variable independiente

Variable dependiente

Prueba de la recta vertical

Desarrolla lo que se pide en cada sección.

I. Encuentra la ecuación y la gráfica de la parábola que cumple con las siguientes condiciones.

a) Su vértice es el origen, la distancia focal es 4 y se abre hacia la izquierda.

b) Su foco es el punto F(6, 0) y la ecuación de la directriz es x+6=0.

c) La ecuación de la directriz es y -2=0  y el foco es el punto F(0, -2).

d) El vértice es el origen y su foco es F(0, -5).

e) El foco es F(0, 8) y la directriz el eje X.

f) El lado recto es el segmento cuyos extremos son (-3, 6) y (-3, -6), además, se abre a la izquierda.

g) Su vértice es V(0, 0), L.L.R = 16 y se abre hacia arriba.

h) El vértice es el origen y ecuación de la directriz y-6=0.

Desarrolla lo que se pide en cada sección.

I. Encuentra la forma ordinaria y general, los elementos y la gráfica de la parábola que cumple con las siguientes condiciones.

a) Su vértice es el punto V(7, -3), la distancia focal mide 2 unidades y se abre a la izquierda.

b) El foco es F(4, -3) y la ecuación de la directriz es la recta x+4=0.

c) Las coordenadas de los extremos del lado recto son los puntos (5, 4) y (-9, 4), además, es una parábola con abertura hacia arriba.

d) Su vértice es V(2, -4) y su foco es F(2, -8).

Resuelve los siguientes problemas.

1. Los cables de un puente colgante tienen forma parabólica. Las torres que soportan los cables están separadas 80 m entre sí y tienen 10 m de altura. Si los cables tocan la superficie de rodamiento a la mitad de la distancia entre las torres, ¿cuál será la altura del cable de un punto situado a 20 m de una de las torres?

2. Un fanal tiene la forma de un paraboloide de revolución. La bombilla, colocada en el foco, está a 1 pulgada del vértice. Si su profundidad es de 2.5 pulgadas, ¿cuál es el diámetro del fanal en su abertura?

3. Se construye un puente con forma de arco parabólico. El puente tiene un claro de 100 pies y una altura máxima de 25 pies. Encuentra la altura del arco a las distancias de 15, 35 y 50 pies del centro.

Desarrolla lo que se pide en cada sección.

I. Traza la gráfica de la parábola que cumple con las siguientes condiciones.

a) Su vértice es el origen, la distancia focal es 3 y se abre hacia la izquierda.

b) Su foco es el punto F(4,6) y la ecuación de la directriz es x + 6 = 0 .

c) La ecuación de la directriz es y − 5 = 0 y el foco es el punto F(−5,0) .

d) El vértice es el punto V(2,8) y su foco es F(6,8).

e) El foco es F(0,5) y directriz el eje X.

f) El lado recto es el segmento cuyos extremos son (2,− 4) y (2,6) , además, se abre a la derecha.

g) Su vértice es V(2,3), L.L.R = 16 y se abre hacia arriba.

h) El lado recto es el segmento de recta que une los puntos (−1,5) y (11,5) , además, se abre hacia arriba.

i) El vértice es V(0,3) y ecuación de la directriz es y − 6 = 0 .

j) El foco es F(1,4) y la ecuación de la directriz x − 4 = 0 .

II. Escribe las coordenadas del vértice y el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto, si la grafica de la parábola es:

I  Encuentra lo que se pide en cada sección.

Encuentra la forma ordinaria, la general, los elementos y la gráfica de la elipse que cumple con las siguientes condiciones.

a)    Su centro es el punto C(5,− 3) , la longitud del eje mayor es 10 y la coordenada de uno de los focos es F(7, − 3) .

b)    Las coordenadas de los focos son F(− 3, 2) y F´(− 3, − 10) , y su excentricidad es 3/7.

c)    El centro es C(− 1, 0) , uno de sus focos es el punto F (− 1+ 33, 0) y la longitud del lado recto es 32/7.

d)    Su centro es C(3, − 4), Vértice V (3,4) y B(7,− 4).

e)    Cuya ecuación es 4x²+9y²-144=0.

f)     Cuya ecuación es 64x2+39y2-640x-896=0

Desarrolla lo que se pide en cada sección.

Traza la gráfica y encuentra la forma canónica y general de la elipse que cumple con las siguientes condiciones.

1.    a = 6 , b = 4 y los focos están sobre eje Y.

2.    Las coordenadas de los vértices son V(± 7,0) y el eje menor es 8.

3.    El eje mayor es 12, la longitud del lado recto es 6 y los vértices están sobre el eje Y.

4.    El semieje menor es 9, la coordenada de uno de los focos es F(− 3,0) .

5.    El eje focal es 20, LLR = 22/3 y los focos están sobre el eje X.

6.    Uno de los vértices es el punto V(− 9,0) y la excentricidad es 1/3.

Act.4 b6

Traza la gráfica de la elipse que cumple con las siguientes condiciones:

1.    Con centro en C (1, − 2), el eje mayor es paralelo al eje X y su longitud es 16, además su excentricidad es ¾.

2.    Con centro en C (4, − 2), la longitud de eje mayor de 5 y la del eje menor es 2, además es vertical.

3.    La suma de distancias a los focos (± 3,0) es 16.

4.    Con centro C (2,0) , el eje mayor de longitud 6 paralelo al eje Y, y eje menor de longitud 3.

5.    Con vértices V (5,3) y V´(− 5,3) , focos F (3,3) y F´ (− 3, 3).

6.    Con vértices V´(− 5, − 4) , V (9, − 4) , la longitud del semieje menor es 3 y la longitud del lado recto es 18/7.

7.    Con centro C (− 4,3) , foco F (− 4,6) y la longitud del lado recto es 9.

Ejercicios de circunferencia con centro en el origen

Encuentra la ecuación y la gráfica de la circunferencia que cumple con las siguientes condiciones:

a)    Su centro es el origen y tiene radio 6.

b)    Su centro es el origen y su radio es 15/2.

c)    Su centro es el origen y su radio es raíz de 26.

d)    Uno de sus diámetros es el segmento cuyos extremos son los puntos

(− 7, 2) y (7, − 2).

e)    Su centro es el origen y pasa por el punto (4, 3) .

f)     Su centro es el origen y pasa por el punto (− 6, − 5).

g) Su centro es el origen y es tangente a la recta 3x + 2y − 14 = 0.

Encuentra la ecuación y la gráfica de la circunferencia que cumple con las siguientes condiciones:

a)    Su centro es punto C(−3,5) y tiene radio 5.

b)    Su centro es punto C(1,− 4) y su radio es (raíz de 150)/2.

c)    Su centro es punto C(8,− 3) y pasa por el punto A(4, 1) .

d)    Su centro es C(− 5, 7) y pasa por el origen.

e)    Su centro es C(− 6, − 5) y es tangente al eje X.

EJ. B4-a5 

Expresa la forma simétrica y la gráfica de la recta que cumple con cada una de las condiciones siguientes:

1.    Intersecta a los ejes X y Y en los puntos 5 y –2, respectivamente.

2.    La abscisa en el origen es –1 y su ordenada en el origen es

3.     El corte con el eje X es 1/2, y con el eje Y es 5/2.

4.     Pasa por los puntos (–3/4, 0) y (0, 15/7).

5.     Pasa por el punto (–3, –8) y es paralela a la recta que intersecta a los ejes X e Y en 2 y 6, respectivamente.

6.    Pasa por el punto (2, 2) y es perpendicular a la recta cuya abscisa en el origen es 7 y cuya ordenada en el origen es –4.

Grafica y encuentra la ecuación de la recta que cumple con lo siguiente:

1.    Pasa por (4,1) y su ángulo de inclinación es de 45º.

2.    Pasa por (3,–2) y m=4/5.

3.    Pasa por (–5,6) y m=–3/4.

4.    Pasa por (1,3) y su pendiente es cero.

5.    Pasa por (4,2) y no tiene pendiente.

6.    Pasa por (2,–3) y ( 5,4).

7.    Pasa por (–2,1) y (4,1).

8.    Es mediatriz del segmento de extremos (–5,–1) y (3,4).

9.    Es paralela a 2x - 3y + 12 = 0 y pasa por (5,–2).

Ejercicios

Grafica las rectas que cumplen con las siguientes condiciones:

1. Pasa por los puntos A(3,2) y B(–1, –4) .
2. Pasa por los puntos D(– 6,2) y E(7,0).
3.  Pasa por el punto R(0, –5) y su pendiente es m = 3 .
4. Pasa por el origen y su pendiente es m = –1.
5. Pasa por el punto K(7,8) y su pendiente es m = –4/3 .
6. Su ecuación es y = –2x + 7.
7.  Su ecuación es  y =5/2 x  -8.
8. Su ecuación es y= – 4/3x   – 7/3.
9.   Su ecuación es 5x + y − 1= 0.
10.  Su ecuación es x − 3y − 9 = 0.

NOMBRE DEL ALUMNO: _______________________________________________  No. de Lista ________

DESARROLLA LO QUE SE TE PIDE EN CADA SECCION. Anexa hojas cuadriculadas de tu libreta si se requiere.

1.    Obtén las coordenadas del punto que divida al segmento determinado por los puntos A(-2,1) y B(3,-4) .en razón de  r = -8/3.

2.    Obtén el área del polígono convexo cuyos vértices son los puntos P(-3, 5/2), Q(-7/2, -5), R(1/2, 1/2), S(0, 4).

3.    Demuestra que las diagonales del cuadrado formado por los puntos J(1,− 3),  K(6,− 3), L(6,2) y D(1, 2), son perpendiculares.

4.    Demuestra que el triángulo de vértices R(1,2) , S(3,4) y T(− 1,6) es isósceles y halla uno de los ángulos iguales.

Ejercicios

1. Utiliza el concepto de pendiente para comprobar que los puntos A(3,-1) , B(-3,2) y C(1,0) son colineales.

2. Una recta de pendiente m= - 3/4 pasa por el punto K(-2,5) y L(6, y) . Encuentra el valor de la ordenada faltante.

3. Utiliza el concepto de pendiente para comprobar que los puntos M(0,-2) , N(4,5) , O(-1,2) y P(5,1) son vértices de un paralelogramo.

4. Comprueba si la recta que pasa por los puntos A(2,3) y B(5,-1) es perpendicular a la recta que pasa por C(-4,-1) y D(0,2).

5. Demuestra que las diagonales del cuadrado formado por los puntos J(1,− 3), K(6,− 3), L(6,2) y D(1, 2), son perpendiculares.

6. Considera el triángulo formado por los puntos C(1,-2), D(8,1) y E(3,5) . Sea F y G los puntos medios de los segmentos CE y DE respectivamente, muestra que el segmento FG es paralelo al segmento CD (FG // CD).

7. Demuestra que el triángulo de vértices R(1,2) , S(3,4) y T(− 1,6) es isósceles y halla uno de los ángulos iguales.

8. Los puntos T(-2,4) , U(1,6) y V(5,-1) son vértices del paralelogramo TUVW, el cuarto vértice W es opuesto a U. Determina las longitudes de las diagonales del paralelogramo y los ángulos interiores del paralelogramo.

9. Dos automóviles empiezan a transitar por un distribuidor vial. El automóvil A se dirige de Oeste a Este y empieza a subir en el punto (-5,0) y llega al punto más alto del puente en (1,2). El automóvil B transita de Este a Oeste y empieza en el punto (14,0), el punto más alto del puente de su carril es (1,4) .

Encuentra:

a) Los ángulos de inclinación de cada uno de los puentes.

b) ¿Cuál de ellos tiene mayor altura?

c) La distancia que recorre cada automóvil, desde que inician en los puentes hasta el punto más alto de cada uno de ellos.

d) ¿Cuál de ellos, independientemente del sentido, tiene mayor pendiente?

EJERCICIOS, para el 3° C, sep 2014

Encuentra lo que se indica en cada uno de los problemas y realiza la gráfica correspondiente.

 

SEGMENTOS DIRIGIDOS                  

1.    Si dos vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(-3,0) y T(3, 0) . Cuáles son las coordenadas del tercer vértice del triángulo.

2.    La base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos (-1,-3 ) y (3, 1) , si la abscisa del tercer vértice es –4. Encuentra la ordenada.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA.

3.    Encontrar el centro de la circunferencia si uno de sus diámetros es el segmento cuyos extremos son A(-3,-6) y B(1, 4) .

4.    Obtén las coordenadas del punto que divida al segmento determinado por los puntos A(-2,1) y B(3,-4) .en razón de r=-8/3.

5.    Obtén las coordenadas del extremo D del diámetro de una circunferencia cuyo centro está ubicado en C(-4,1) y que además tiene como extremo el punto E(2,6).

6.    Encontrar la razón r en la que el punto P(4,2) divide al segmento A(-2,-4) y B(8,6) .

7.    Traza el triángulo JKL y dibuja en él la mediana que une al vértice J(-3,7) con el punto medio del segmento dado por los puntos K(-1,-5) y L(6,1).

8.     Dibuja el triángulo que se forma al unir los puntos medios de los lados del triángulo cuyos vértices son los puntos A(5, 7), B(1, 3) y C(9, 1).

Teselaciones, rellenando el plano.

Teselas

Mediante deformaciones de un polígono inicial que sí forme un mosaico se originan mosaicos con formas muy diversas. Este método está basado en el principio de conservación de las áreas entre el polígono y la figura finalmente construida que hará de tesela base en la construcción del mosaico.

Actividad 1

Investiga y escribe en tu libreta sobre los siguientes conceptos:

1.    Simetría

2.    Isometrías

3.    Traslación

4.    Giro

5.    Homotecia

6.    Mosaicos

7.    Teselaciones

Actividad 2

1.    Construye una circunferencia M con centro O.

2.    Inscribe un triángulo equilátero ABC en al circunferencia  M.

3.    Oculta todos los trazos dejando únicamente el triángulo ABC y el centro O.

4.    Construye un polígono  A, con No. de lados que quieras pero que tenga un lado sobre uno de los lados del triángulo.

5.    Construye el simétrico del polígono A

6.    Costruye dos polígonos mas utilizando los lados restantes del triángulo ABC y sin dejar espacios del triangulo original.

7.    Utilizando el contorno de las figuras construidas como si fuera una sola, traza un único polígono.

8.    Copia el últipo polígono construído.

9.    Has construido una figura que puede rellenar el plano, termina girando y copiando el poligono adecuadamente.

Actividad 3

A partir de un cuadrado construye una tesela como muestra la figura. Observa que el área de la misma coincide con el área del cuadrado inicial, puedes comprobarlo con Cabri. Guarda la tesela como MOSAICO4

 

Con la tesela construida y mediante simetrías centrales y giros un mosaico. Observa que cuatro figuras de estas forman otra figura de área cuatro veces el del cuadrado inicial y además esta nueva figura tesela el plano mediante traslaciones.

Profr. Max

respuestas

Para los clase de tecnología y didáctica de las matemáticas.